コマネチ大学数学科(スパゲッティ問題)

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遅ればせながら、HDDビデオに録画されていたたけしのコマネチ大学数学科の先週放送分を見ました。
今回は、

長さ30cmのスパゲッティを無作為に3つに折った場合、その3本で三角形ができる確率はいくらか?

という問題。
竹内薫氏は、「マーチン・ガードナー」の方法というのを使ってらっしゃいましたが、そんなに難しく考えなくても;
3つに折れたスパゲッティの長さを、それぞれ、x、y、zとすると、
x+y+z=30 (ただし、x、y、z>0)
だから、3次元座標上で、下図の水色の平面上の点になり、
takeshi1.JPG
かつ、三角形ができるためには、各2辺の和は他の1辺より長い(x+y > z等)から、先の式を代入すると、
2x、2y、2z<30
で、つまり、それぞれの辺は15cm未満。(あたりまえですが。)
つまり、下図のオレンジ色の平面
takeshi2.JPG
の中に入る場合のみ三角形ができるから、一見して、確率は「1/4」のはず。
(いつになく簡単な問題だったので、コマ大フィールズ賞はいただけないかと思いますが・・・。)

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コマネチ大学数学科(スパゲッティ問題)” への3件のコメント

  1. 確率というと事象が数え上げられるものを前提としているような気がするので、「無作為に3つに折った場合に○○である確率」って何となく直感的じゃないような気がしますね。
    何となくの通りすがりで本当にすいません。

  2. 短く折るってのはずぇ〜ったいに作意がないと出来ないので確立範囲の端はもっと短いかも、って、それは数学以外の部分での話しでつね。

  3.  全体の長さを2とおいて、先に一回折った折り目のうち端からの距離が短い方を(どちらでも良いことなので仮に)左側として、折り目の左端からの距離を m(定義より0≦m≦1、これが等確率で発生する)とします。次に折って作為を満たすには、最初の折り目より左では絶対にダメで、中心(左端からの距離1)よりも右、かつ、左端からの距離1+m よりも左、で折る必要があり、該当する範囲の長さは m、全体の長さ2からすると確率はm/2。 m/2を0から1までの積分を解くと、1/4、が答えですね。なるほど!
     jaway サンのおっしゃるように、短く折ることは明らかに難しいのと、2本に分かれた次にどちらを折るかの選択が、前提どおりに残りの長さに比例するとは到底思えないので、スパゲティ折りを例に取るのは本来無理がありそうですが。